테브난 정리 Thévenin's theorem에 대한 깨달음(1) _ 유도 및 증명
회로해석에 정말 유용한 툴 테브난 정리이다.
이 정리를 정말 많이 쓰는데 증명을 제대로 다루는 글이 많이 없는거 같다.
회로 이론을 공부하면서 많은 정리들을 배우는데 이 정리들을 그냥 가져다 공식 대입, 문제 찍 풀기...
너무 재미없고 이런걸 공부하는게 무슨 의미인가 싶다. 그런 계산은 AI가 더 잘하지 않을까?
우린 인간이니까 좀 더 머리를 많이 많이 써보자.
테브난 정리란, 어떤 복잡한 회로와 연결된 두 개의 노드가 있을 때 복잡한 회로를 전압원 하나(V_T)와 저항 하나(R_T)로 바꾸어서 생각할 수 있다는 정리이다.
그림으로 표현하면
이때, 반드시 짚고 넘어가야 할 부분이 있다.
등가회로(equivalent circuit) 이므로 그 노드에 대해서만 동일한 동작을 한다는 것이다.
다시 말해 그 노드에 대해서만 변환하기 전과 후 걸리는 전압과 전류가 같다는 의미이다.
이건 테브난 정리의 테브난 등가회로뿐만 아니라 우리가 만드는 이런저런 등가회로는
"특정 노드를 관점으로" 한 등가회로 이므로, 전체 전력을 구한다거나 할 경우에는 주의해야 한다.
다시 테브난 정리의 증명으로 돌아가자.
제가 정말 사랑하는 사이트 https://spinningnumbers.org/a/thevenin-proof.html 를 참고해서 작성하였습니다.
일단, 일반적인 상황의 증명을 보기 앞서 특정한 상황을 예시로 들어 어떠한 방식으로 증명할 것인지 그 흐름을 보고 가보자.
전위는 위가 아래보다 높다(v) 고 가정하자.
결국 우리가 증명해야 하는 것은 왼쪽 회로의 V, i에 대해서
1) V = V_T - i * R_T로 표현이 가능하다는 것을 증명하고
2) 그때 V_T와 R_T 가 무엇인지를 유도해 보면 된다.
테브난 정리의 V_T와 R_T를 어떻게 구하는지 그 공식을 알고 있는 사람이라면, 증명 방법도 대충 예상할 수 있을 것이다.
결국, 다시한번 나타난 그 정리... 중첩의 정리 Superposition theorem를 사용하면 된다.
우리가 보고자 하는 노드에서 흐르는 전류와 그 노드의 양단에 걸리는 전압 사이의 관계를 구하는 것이 우리의 목표이므로
원래의 회로에서 흰 점 노드에 전류원을 연결해 보자. 그럼 아래 그림과 같이 될 것이다.
그런 뒤에 세 개의 전원장치(5V 전압원, 2mA 전류원, I_ext 전류원)에 대해 부분 회로 sub circuit 세 개를 해석한다.
그때 V를 세 회로를 중첩시켜서 구한다. (중첩의 원리)
위를 계산해보면, V = 4.5 - 1000 * i 가 나오고,
이때 4.5 는 I_ext를 단락 시켰을 때 5V, 2mA 전원장치에 의한 흰 노드 양단의 전압을 의미하고
1000 은 I_ext 의 부분 회로를 해석할 때 계산한 합성 저항을 의미한다.
이는 우리가 알고 있는 테브난 정리와 일치한 것을 알 수 있다.
위 수식을 간단한 회로의 모습으로 표현해 보면 아래처럼 나온다.
다음으로는 일반적인 상황에서의 테브난 정리를 증명해 보자.
마찬가지로 우리가 보고자 하는 노드의 양단을 이어 전류원을 연결하였다.
복잡한 회로 내부에는 전압원이 V_1, V_2,... V_M으로 총 M개, 전류원이 I_1, I_2,... I_N-1으로 총 N-1개 그리고 저항은 아주 많이 존재한다고 해보자. (외부 전류원까지 해서 전체 회로의 전류원은 총 N개다)
위의 예시처럼 결국 중첩의 원리를 통해서 V를 구할 것이다.
< 내부(?) 전압원들에 의한 >
임의의 전압원 V_m (m = 1,2,3,... M)에 의한 V_m = A_m * V_m이라고 표현할 수 있다.
이때 A_m이란 저항들에 의한 어떤 단위 없는 비율 값이다. 이 부분이 이해가 잘 안 되면 위 특정한 예시 부분을 다시 보고 와보자.
마찬가지로
< 내부(?) 전류원들에 의한 >
임의의 전류원 I_n (n = 1,2,3,... N-1)에 의한 V_n = I_n * R_n이라고 표현할 수 있다.
이때 R_n이란 그 전류원에서 나온 전류가 지나가는 합성저항이다.
마지막으로
< 외부(?) 전류원에 의한>
외부 전류원 I_N에 의한 V_N = -I_N * R_N라고 표현할 수 있다.
이때 R_N 또한 그 전류원에서 나온 전류가 지나가는 합성저항이다. ( 결국 얘가 테브난 저항이다 )
위 모든 부분 회로 sub circuit들을 중첩시키면
이렇게 표현할 수 있고
결국 내부(?) 전압원들에 의한 전위차와 내부(?) 전류원들에 의한 전위차들의 시그마 합은
우리가 보고자 하는 노드를 개방(Open) 시킨 후 노드 양단의 전위차를 보는 것과 같기 때문에 아래와 같이 쓰고 정리할 수 있다.
그럼 일반적인 상황에서의 테브난 정리가 증명된다.
* 나는 사실 여기서 이런 질문이 생기긴 했다.
우리가 보고자 하는 노드에 전류원을 연결시켜 놓고 증명을 했는데, 전류원이 아니라 저항이나 캐패시터 인덕터가 연결된 회로에서도 이 정리를 쓸 수 있는 이유가 뭘까?
우리가 노드에 흐르는 전류와 노드에 걸리는 전압 사이의 관계를 통해서 증명한 것이므로 어떠한 선형 소자가 들어오든 간에 그 소자를 중심으로 노드에 전압이 걸리고 전류가 흐를 것이다. 그렇기에 우리가 증명한 상황과 동일하다.
이 정도 답변이면 납득이 되는걸...까?
이 의문을 Chat GPT에게도 물어보았다.
내가 이해한 논리와 비슷한 말인거 같다. 조금만 더 음미해보자.
다음 글에서는 전원 변환 Source transformation과 노턴 정리 Norton Theorem을 증명해 보자.
반론이나 질문은 환영입니다.