행렬식 determinant 에 대한 깨달음 (1) _ 행렬식의 엄밀한 정의

행렬식이란 무엇인가?
행렬식이 0 이면 왜 역행렬이 존재하지 않는가?
행렬식은 왜 그렇게 구해지는가?
 
행렬식을 공부하며 헷갈렸던 것을 정리해보려고 한다.
 
우리는 행렬식을 계산하는 방법을 배우고 행렬식에 대한 성질을 외우고 행렬식이 0 이면 역행렬이 존재하지 않음을 배운다.
하지만 행렬식을 계산하는 공식을 가지고 행렬식의 성질을 증명하는 과정을 보면 무엇인가 이상하다고 느낄 수 있다.
또, 행렬식이 0 일 때 역행렬이 존재하지 않는 행렬, singular matrix 인 이유도 생각해 볼 필요가 있다.
 
이것이 잘 와닿지 않는 이유는 행렬식의 계산 방법을 행렬식의 정의로 잘못 이해했기 때문이다.
지금부턴 내가 나름대로 행렬식에 대해 깨달은 길을 따라가려고 한다.
 
 
이 글은 MIT 18.06 Linear Algebra, Spring 2005 Instructor: Gilbert Strang : https://www.youtube.com/watch?v=srxexLishgY&t=2810s 강의를 참고하여 작성하였습니다.
 
 
일단 시작은 행렬식 determinant가 n*n 정방행렬을 스칼라 실수에 대응시키는 "함수" 라는 것을 알아야 한다. 행렬식은 그 계산 방법이 정의가 아니다. 내 친구 챗지피티에게 그럼 왜 많은 책이나 블로그에서 계산 방법을 행렬식의 정의처럼 설명하는지 물어봤다.

 

음, 그렇다고 한다. 나 같은 사람들을 위해 글을 써 본다.

 
 
 

 
 
행렬식을 이렇게 10가지 property들을 만족하는 "함수"라고 이해하면 행렬식과 역행렬 존재성 사이의 관계라던지 여인수 전개와 같은 행렬식의 계산 방법에 대해서 보다 논리적이고 직관적이게 납득할 수 있다. 서론에서 말한 "행렬식을 계산하는 공식을 가지고 행렬식의 성질을 증명하는 과정"은 그 순서가 상당히 잘못된 것임을 깨달을 수 있다.
 
역행렬 계산 방법인 여인수 전개에 대해서는 다음 글에서 다루도록 하겠다.
 
반론이나 질문은 환영입니다.