행렬식 determinant 에 대한 깨달음 (2) _ 라플라스 전개(여인수 전개)

이번엔 저번 포스트로 확실하게 이해한 행렬식 determinant를 계산하는 방법에 대해서 알아보려고 한다.

즉, 라플라스 전개(Laplace Expansion) 혹은 여인수 전개(Cofactor Expansion)로 알려진 공식을 좀 더 엄밀하게 이해하는 시간을 가져보자.

 

"아니, 여인수 전개가 행렬식의 정의 아니야?"라고 생각하는 분들은 아래 "행렬식 determinant 에 대한 깨달음 (1) _ 행렬식의 엄밀한 정의" 포스트를 먼저 읽고 오길 바란다.

 

 

https://mharry345.tistory.com/2

행렬식 determinant 에 대한 깨달음 (1)

 

이 글은 MIT 18.06 Linear Algebra, Spring 2005 Instructor: Gilbert Strang : https://youtu.be/23LLB9mNJvc?si=wbjWUqHyl9aILBaL 강의를 참고하여 작성하였습니다.

 

 

저번 포스트에서 계속하여 강조하였듯이 라플라스 전개와 여인수 전개가 행렬식의 정의가 아니다. 단지, 행렬식의 property들을 통해 만들어진 계산법일 뿐이다.

 

이제 그 유도 과정을 찬찬히 알아보자.

가장 중요한 것은, 우리가 알고 있는 property들로 행렬식을 계산해 보고,

그 속에서 규칙을 찾아 formula를 얻어야 한다는 점이다.

 

일단 여기 까지 정확히 이해한 뒤 다음 페이지를 보길 바란다.

 

사실 두 번째 페이지의 일반화된 Formula에서 laplace 전개로 넘어가는 과정이 바로 당연하다고 받아들여지는 과정은 아닌 거 같다.

일반화된 Formula의 각 term들이 Permutation 순열로 표현이 된다는 사실을 통해 (인수 a_ij) * (소행렬 M_ij)들의 sum으로 표현할 수 있다는 것을 직관적? 논리적?으로 이해하는 것은 쉽게 이해할 수 있으나, (-1)^(i+j)가 어떠한 논리로 곱해지는지는 바로 와닿지는 않는다.

 

( 여러 경우에 대해 고민해 보면 최종 property 2적용시에 (-1)이 추가로 붙을지 말지가  i+j 가 홀수인지 짝수인지에 의해 결정됨을 알아차릴 수 있다. 바로 와닿지 않으니 혼자서 고민해 보는 시간이 필요하다. )

이런 방법으로 혼자 고민해 보았다. 여러 케이스를 보면서 왜 (-1)^(i+j) 가 붙는지를 고민해 보자.

 

이 부분은 더 이해하기 쉽고 논리적인 설명 방법이 있으면 글을 수정하도록 하겠다.

반론이나 질문은 환영입니다.

아! 그리고 설명할 수 있는 좋은 아이디어가 있다면 댓글 부탁드립니다.