2계 선형 미분방정식에 대한 깨달음

2계 선형 미분방정식을 공부하다가 갑자기 궁금한 것이 생겼다.

우리가 일반해라고 부르며 미분방정식에 y = Ae^(rx)를 넣어서 r을 찾는데

이때 r이 서로 다른 두 실근이냐? 중근이냐? 아니면 허근이냐에 따라서 경우를 나눠 해의 꼴을 결정한다.

특히 그 과정 중에서 나는 허근의 경우에 잠시 "어, 왜 이렇게 계산하는거지?" 하는 의문이 들었다.

 

허근의 경우 해를 결정하는 방법은 다음과 같다.

세 가지 경우 중 허근인 경우를 보자

이렇게 지수함수와 삼각함수가 곱해져 있는 형태의 함수를 구할 수 있다

 

그런데 이 과정에서 마지막 과정인 실수화(real combination)가 정확히 어떤 의미인지를 좀 더 고민해 보았다.

 

사실 이 고민의 답은 "일반 해" 자체에 있었다.

원래 우리가 보고자 하는 함수는 실함수가 맞다 (예를 들어서 스피링의 진동, 감쇄진동, RLC 회로 등등).

그래서 2계 선형 미분 방정식을 보고 그 해를 sin, cos(실함수)으로 가정해서 풀 수도 있고, 지수 함수(실함수)로 가정해서 풀 수도 있다.

하지만 미분방정식을 풀 때는 앞 두 꼴을 모두 표현할 수 있는 Ae^rx로 놓고 풀어서

r이 허근이 나온다는 것은 그 함수 해에 sin 혹은 cos의 진동 항이 들어가 있다는 것을 암시한다는 것이다.

 

정리하면

 

반론이나 질문은 환영입니다.