델타 와이 변환(Δ-Y 변환) 에 대한 깨달음 _ 유도 및 증명

회로이론을 공부하면서 Δ-Y 변환(delta to wye transformation)을 배울 수 있었다.

 

이를 공부하면서 증명 과정을 잠시 읽어보았는데, 정말 이해가 전혀 되지 않았다. 기본적인 증명의 아이디어는 Δ form의 노드 사이의 합성 저항과 Y form의 노드 사이의 합성 저항이 같음을 통해서 증명을 했다.

하지만 여기서 의문이 들었다. 의문은 다음과 같다.

위 사진처럼 각 노드마다 (a-b : 노랑, a-c : 파랑, b-c : 빨강) 변환 전(Δ)과 후(Y) 합성 저항이 같음으로 유도한다.

 

1번 의문, 두 노드 사이의 합성 저항이 같다는게 도통 무슨 의미인가?

2번 의문, 그래 두 노드 사이의 합성 저항이 같아야 하구나? 근데 그게 정말 합성 저항이 맞니?

 

이젠 이런 의문을 풀어보겠다.

 

이 글은 Spinning Numbers 사이트의 https://spinningnumbers.org/a/delta-wye-derivations.html 를 참고했습니다.

 

 

임의의 두 회로가 존재하고 이 회로는 Δ form 혹은 Y form 이다.

그리고 그 위에 회로를 완전히 덮어둘 수 있는 회색 색종이를 덮어두었다고 생각하자.

그럼 아마 아래의 그림처럼 될 것이다.

x,y,z 에 노드가 존재하는 회로, 그 위에 회색 색종이

이러한 상황에서 x 노드와 y 노드 사이의 저항을 구하고 싶으면 어떻게 할 것인가? x,y 노드에 전선을 연결하고 전류원 혹은 전압원을 연결하여 전압과 전류를 측정해 저항을 확인해 볼 것이다.

그런 방법으로 x-y, x-z, y-z 모든 노드에 대해서 저항을 구할 수 있다.

 

그런데 왼쪽 회로와 오른쪽 회로가 노드사이의 저항이 모두 똑같이 측정되었다고 생각해보자.

 

그리고 이제 회색 색종이를 치웠다.

색종이를 치우니 Δ form 과 Y form 회로가 나왔어요!

색종이를 치우니 왼쪽은 Δ form 오른쪽은 Y form 이었다.

이럴수가! 저항이 똑같이 측정되었는데 모양은 서로 완전 다르게 생겼다!

 

바로 이런 아이디어로 증명을 하는 것이다.

 

자, 찬찬히 다시 생각해보자.

아까 색종이를 덮어둔 상태에서 노드의 양단에 전류원 혹은 전압원을 걸어 저항을 측정한 행위를

색종이를 치워서 하면 아래의 모습일 것이다.

색종이를 치우고 저항을 측정

이 상황에서는 너무나도 잘 이해가 될 것이다. 왼쪽 Δ form 에서 x node 와 y node 사이의 저항은 Rc||Rb+Ra 연결일 것이고 오른쪽 Y form 에서 x node 와 y node 사이의 저항은 R1 + R2 일 것이다.

그리고 그 둘이 같은 저항값으로 측정이 되었다고 했으니 Rc||Rb+Ra = R1 + R2 라는 등식을 쓸 수 있다.

 

이러한 논리로 x-y, x-z, y-z 모든 노드에 대해서 등식을 구해서 연립하면 R1, R2, R3 를 Ra, Rb, Rc에 대해서 혹은 Ra, Rb, Rc를 R1, R2, R3 에 대해서 표현할 수 있을 것이다.

 

그게 바로 Δ-Y 변환(delta to wye transformation) 혹은 Y- Δ 변환(wye to delta transformation) 이다.

정리하면 아래와 같다.

 

 

다시 나의 의문으로 돌아와 보자.

 

1. "두 노드 사이의 합성 저항이 같다" 는 등식이 무엇을 의미하는가?

답) 외부에서 보았을 때 두 노드 사이의 저항이 같다고 인식한다는 의미. 쉽게 말해, 색종이를 덮어두었을 때 완전히 똑같은 상황처럼 보인다는 의미.

 

2. 두 노드 사이의 합성 저항이 저게 맞나?

답) 실제로 두 노드 사이의 합성 저항을 계산할 때 다른 노드와 연결된 전선(브랜치)는 개방(open) 시켜놓기 때문에 합성저항을 저렇게 구하는것이 맞다.

 

 

이렇게 Δ-Y 변환(delta to wye transformation) 을 유도해 보았다.

책에 적혀있는 증명은 너무나도 간단한 과정처럼, 당연한 과정처럼 표현되어 있지만, 인터넷이나 책에 제시되어 있는 유도 과정은 적어도 나에겐 잘 이해가 가질 않았다.

 

나와 비슷한 의문을 가진 사람들을 위해 이 글을 쓴다.

 

반론이나 질문은 환영입니다.