중첩의 원리 superposition theorem 에 대한 깨달음

우리가 회로이론을 배우고 회로를 해석할 때 중첩의 원리(정리)는 정말 많이 사용된다.
다른 정리들(Thevenin's Theorem, Norton's Theorem) 을 증명할 때에도 사용될 만큼 중요하다.
 
중첩의 원리란
1. 2개 이상의 전원장치가 포함된 회로에서
2. 보고자 하는 하나의 전원장치를 선택
3. 그 전원장치를 제외하고 다른 모든 전압원은 단락 시키고(전선으로 잇기) 전류원은 개방시켜서(끊어버리기)
4. 각자의 회로를 각자 해석한 뒤
5. 그들을 합쳐서 전체를 해석하면 된다는 정리.
 
중첩의 원리를 증명? 이해? 하기 이전에 선형회로(linear circuit)에 대해 먼저 알고 있어야 한다.
 

 

 

그래서 우리가 배우는 기초적인 전기 회로가 선형 회로라는 것이다!!
우리가 접하는 전기소자 저항(R), 임피던스(L), 캐패시터(C) 등은 모두 선형성을 만족하는 소자들 이기에 이들을 포함한 회로는 선형 회로라고 할 수 있다. 

 

 
그렇게 생각해 보면 선형 회로에서의 중첩의 원리는 당연하게 받아들여질지 모른다.

 

아주 간단한 상황을 예시로 들어 그 이후로 사고를 확장해 보자.

전압원 두 개와 저항 한 개

 

위 상황의 경우에는 일반적으로 전압원 두 개를 Vs1 + Vs2 = Vs_tot로 하나의 전압원이라고 생각하고 회로를 해석한다.

하지만 이를 V, I, R 사이의 선형성을 사용해서 굳이 굳이 표현을 해보자.

Vs1 과 Vs2 각각이 하나씩만 존재하는 두 회로로 해석

 

이때, 각 회로에서 R에 걸리는 전류인 i1과 i2는 Vs1/R, Vs2/R 이므로, 결국 두 회로를 겹쳐놓은 Original 회로의 전체 전류는 (Vs1+Vs2)/R이다. 이는 우리가 예상했던 값이다.

 

다시 한번 더 정리하면 n개 이상의 전원장치가 존재하는 회로에 대해서 단 하나의 전원장치만 있다고 생각한 뒤 회로를 해석하고(총 n개의 회로(이를 부분 회로 sub circuit 라고 표현한다)가 만들어 짐) 이들을 모두 더해서 계산하는 것이...

완전히 한꺼번에 회로를 해석하는 결과와 같다는 의미이다.

 

전류원이 있는 예시를 하나 더 보자.

전류원 하나, 전압원 하나, 저항 두 개

 

이런 경우에도 전류원만 있다고 생각한 회로 하나, 전압원만 있다고 생각한 회로 하나를

해석한 뒤 선형적으로 더하면 될 것이다. 두 개의 회로는 다음과 같다.

좌 : 전압원만 있다고 생각한 경우, 우 : 전류원만 있다고 생각한 경우

 

이때 주의할 점은, 전압원의 경우 없다고 생각할 때에는 전위 차이를 만들지 않기 때문에 도선으로 연결하는 즉, 단락 시키면 되지만 전류원의 경우 없다고 생각할 때에는 그 도선에 전류가 흐르지 않는 것이기 때문에 도선을 끊는 즉, 개방시켜야 한다는 점이다.

 

이에 대해 잘 정리해 둔 사이트가 있습니다. 제가 정말 잘 챙겨보고 있는 사이트인데, 이 사이트를 한국인들이 조금 더 많이 알고 있으면 좋겠네요...

https://spinningnumbers.org/a/superposition.html 

 

반론이나 질문은 환영입니다.