Null Space에 대한 깨달음

예전에 방학 동안 선형대수학을 공부하면서 Null space를 구하는 방법에 대해서 다룬 적이 있다.

https://mharry345.tistory.com/27

선형 방정식 linear equation에 대한 깨달음 (1) _ 동차 연립 방정식 Ax = 0 와 pivot, rref, null space

여기서 null space를 구하는 방법을 block matrix multiplication으로 설명을 했다.

 

그런데 pivot이 정갈하게 있지 않은 경우에, 즉 rref를 했을 때 왼편에 I 오른편에 F가 정갈하게 나오지 않는 경우에는

(위 글에서는 R과 R'으로 설명을 했는데, R의 경우를 말하는 것)

직관적으로 잘 와닿지 않았다. 행의 위치 변환을 계속해야 하기 때문이다.

 

그래서 이번에 고민을 하다가 연립 방정식을 푸는 과정으로 이 부분을 다시 이해해 보았다.

 

Lecture note of Korea University Prof. Wonjae Shin

위 상황처럼

x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0

                4x3 + 4x4 = 0

연립 방정식을 푸는 상황에서 x2와 x4를 free variable로 먼저 정하자.

왜 x2와 x4를 free variable로 정하는지는 조금 있다가 설명을 하도록 하겠다.

그 상황에서 x2와 x4가 (1,0)인 경우, (0,1)인 경우를 따로 방정식을 풀어 (-1,1,0,0)과 (-1,0,-1,1)이라는 special solution을 얻을 수 있다. 이 둘의 선형 결합으로 모든 해를 표현할 수 있다.

 

여기서  (-1,1,0,0)과 (-1,0,-1,1) 해를 자세히 살펴보면

free variable(x2, x4)이 있었던 그 자리가 (1,0)과 (0,1)일 때 나머지(x1, x3)가 무엇이어야 하는가?

이 질문이 Null space를 구하는 방법에 대한 새로운 이해이다.

 

조금 더 나아가서 RREF 꼴으로 변환해 보자.

Lecture note of Korea University Prof. Wonjae Shin

RREF 꼴을 보면 엄청 많은 인사이트를 얻을 수 있다.

아까 처음에 들었던 의문, 왜 x2와 x4를 free variable로 정하는가? 에 대한 답을 해보도록 하겠다.

사실 x2와 x4 외에 x2와 x3 혹은 x1과 x2를 free variable로 사용해도 상관은 없다.

하지만 RREF 꼴로 만든 후 pivot column, free column이라는 개념을 도입하면 편하게 free variable을 지정할 수 있고, 더 나아가서 null space도 편하게 구할 수 있기에 x2와 x4를 free variable로 사용한다.

 

다시 본론으로 돌아가서

free variable(x2, x4)이 있었던 그 자리가 (1,0)과 (0,1) 일 때 나머지(x1, x3)가 무엇이어야 하는가?
이 질문을 다시 곱씹어보자.

RREF꼴로 만든 뒤 연립 방정식은 

(1) --  x1 + x2 + x4 = 0

(2) --          x3 + x4 = 0     이 된다.

이때,

(1,0)인 경우 

(1) -- x1은 x2 계수에 (-) 부호를 붙인 것을 알 수 있다. (-1)

(2) -- 마찬가지로 x3 또한  x2 계수(여기서는 0)에 (-) 부호를 붙인 것을 알 수 있다. (0)

여기서 중요한 점은 x2 free variable을 제외한 모든 free variable (여기선 한 개, x4) 은 무시된다.

 

(0,1)인 경우

(1) -- x1은 x4 계수에 (-) 부호를 붙인 것을 알 수 있다. (-1)

(2) -- 마찬가지로 x3 또한  x4 계수에 (-) 부호를 붙인 것을 알 수 있다. (-1)

여기서 중요한 점은 x4 free variable을 제외한 모든 free variable (여기선 한 개, x2) 은 무시된다.

 

말로 설명하니까 어려운데... 그림으로 정리해 보았다.

( 이전 설명이 이해가 안 되어도 당연합니다. 제 표현력이 부족합니다)

 

결론은, pivot column 위치에 -F를 차례대로 놓고, free column 위치에 I를 차례대로 놓으면 된다.

 

반론이나 질문은 환영입니다